SPFA算法-深度集成SPFA：优化无限制最短路径算法

SPFA算法，全称Shortest Path Faster Algorithm，是解决单源无限制最短路径问题的一种算法。与Dijkstra算法相比，SPFA算法在数据量较大、图边数比较多时有着更好的表现。但是SPFA算法也因为其每次更新距离的规则不同于Dijkstra算法，因此存在一定的复杂度，可能会在某些情况下陷入死循环。

本文主要介绍深度集成SPFA算法的优化过程。相比传统的SPFA算法，深度集成SPFA算法在实现上更加稳定，并且相对更快地找到最短路径。

SPFA算法

首先，我们先介绍下SPFA算法的基本思想。SPFA算法的核心是松弛操作，每次根据已经求得的距离值与现有值比较，通过更新来松弛距离。在求得距离值后，将当前节点周围的所有节点压入队列中被称为“松弛”。在算法中，对于节点v和u之间的边权重为w(u,v)，则有松弛条件dist[v] > dist[u] + w(u,v)。

为了防止算法陷入死循环，我们可以引入一个数组vis：如果节点v之前已经被压入过队列中，则vis[v] = true，以后再次压入时可以直接跳过。这就是算法的基本实现：每次从队列中取出一个节点u，枚举u的每一个相邻节点v，然后执行松弛操作，同时将更新后的节点压入队列中。

void spfa(int s) {
    memset(dist, 0x7f, sizeof(dist));
    memset(vis, 0, sizeof(vis));
    queue q;
    q.push(s);
    vis[s] = true;
    dist[s] = 0;
    while (!q.empty()) {
        int u = q.front(); q.pop();
        vis[u] = false;
        for (auto [v, w] : g[u]) {
            if (dist[v] > dist[u] + w) {
                dist[v] = dist[u] + w;
                if (!vis[v]) {
                    vis[v] = true;
                    q.push(v);
                }
            }
        }
    }
}

通过上面的代码，我们可以看到SPFA算法的核心思想。然而，SPFA算法的性能在某些情况下并不是很理想，可能会陷入死循环，导致算法失效。实际工程应用中，我们需要对SPFA算法进行优化，以应对更加复杂更大的场景。

深度集成SPFA算法

深度集成SPFA算法相比传统SPFA算法的优化主要体现在两个方面：深度优化和集成优化。接下来我们详细介绍这两个优化。

深度优化

SPFA算法的在实际应用中存在的主要缺陷是会陷入死循环，这是由于SPFA算法每一轮只更新距离，如果存在多个起点相互循环更新的情况，就会导致无限循环。对于这个问题，我们可以使用更深度的优化方法来解决。

深度优化的主要思想是：通过记录每个节点入队的次数，当超过一定的阈值时，判定此时的最短路为新的最短路。具体实现时，我们可以每次取出当前队首的节点u，判断其纳入队列的次数是否已经超过阈值，如果超过，则代表当前u的最短路已经确定，可以将当前节点从队列中弹出，不再参与之后的更新。此时，我们已经找到了带有起点s的最短路；然后，我们通过查询图中所有u的出边对当前的dist数组再做一次松弛，最后即可完成整个图的最短路运算。

void spfa(int s) {
    memset(dist, 0x7f, sizeof(dist));
    memset(vis, 0, sizeof(vis));
    memset(cnt, 0, sizeof(cnt));
    queue q;
    dist[s] = 0, cnt[s] = 1;
    q.push(s), vis[s] = true;
    while (!q.empty()) {
        int u = q.front(); q.pop(), vis[u] = false;
        if (++cnt[u] > n) continue;
        for (auto [v, w] : g[u]) {
            if (dist[v] > dist[u] + w) {
                dist[v] = dist[u] + w;
                if (!vis[v]) {
                    vis[v] = true;
                    q.push(v);
                }
            }
        }
    }
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
        if (cnt[i] > n) {
            for (auto [u, w] : g[i]) {
                if (dist[i] + w < dist[u]) {
                    dist[u] = dist[i] + w;
                }
            }
        }
    }
}

在实际应用中，最短路的起点可能会存在多个。为了解决这种情况，我们通常需要使用集成优化。

集成优化

在深度集成SPFA算法中，我们通常使用多个起点来一起求解最短路。为了方便我们的讨论，我们先定义一个函数f(i)表示从i号节点出发找到的最短路，即dist[i]。

然后，我们将所有起点放入一个队列中，每次从队列中取出每个起点，执行深度的SPFA算法。我们通过对每个起点执行多次SPFA算法，可以获得一组最短路的结果。最后，我们对每个节点的所有结果求最小值即可得到最终的最短路。

void deep_spfa(int s) {
    memset(vis, 0, sizeof(vis));
    queue q;
    q.push(s);
    vis[s] = true;
    while (!q.empty()) {
        int u = q.front(); q.pop();
        vis[u] = false;
        for (auto [v, w] : g[u]) {

            if (dist[v] > dist[u] + w) {
                dist[v] = dist[u] + w;
                if (!vis[v]) {
                    vis[v] = true;
                    q.push(v);
                }
            }
        }
    }
}
void spfa(int s) {
    deep_spfa(s);
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
        dist[i] = min(dist[i], deep_dist[i]);
    }
}

通过集成优化处理多起点的情况，可以大大提高SPFA算法在实际应用中的效率与稳定性，同时避免了算法陷入死循环的问题。

总结

深度集成SPFA算法是SPFA算法的一种优化形式，通过多起点、深度松弛的策略，避免了SPFA算法可能陷入死循环的缺点。它具有在处理数据量较大、图边数较多时的优越性能。在实际工程中，我们可以根据实际情况选择不同的最短路算法，在满足需求的同时，尽可能地提高算法的效率与稳定性。